Các ma trận Pauli (sau khi nhân với i - đơn vị ảo, trở thành anti-Hermitian), sẽ tạo ra các biến đổi của đại số Lie: các ma trận iσ1, iσ2, iσ3 tạo thành một hệ cơ sở cho SU(2). Đại số học được tạo ra bởi ba ma trận σ1, σ2, σ3 là đẳng cấu với đại số Clifford của ℝ3, và được gọi là đại số của không gian vật lý. Ta có thể biểu diễn như sau:

σ a = ( δ a 3 δ a 1 − i δ a 2 δ a 1 + i δ a 2 − δ a 3 ) {\displaystyle \sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}}

Từ đó tính được:

σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = − i σ 1 σ 2 σ 3 = ( 1 0 0 1 ) = I {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}

(Với I là ma trận đơn vị)

det σ i = − 1 , Tr ⁡ σ i = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{i}&=-1,\\\operatorname {Tr} \sigma _{i}&=0.\end{aligned}}}

Giá trị riêng của từng ma trận σi đều là ±1

Vecto riêng tương ứng lần lượt là:

ψ x + = 1 2 ( 1 1 ) , ψ x − = 1 2 ( 1 − 1 ) , ψ y + = 1 2 ( 1 i ) , ψ y − = 1 2 ( 1 − i ) , ψ z + = ( 1 0 ) , ψ z − = ( 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\\&\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},\\&\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}